Jedną z podstawowych metod wyznaczania symetrii jest metoda oparta na odkryciach Sophusa Liego już z końca ubiegłego stulecia. W tej metodzie zakłada się, że symetrie tworzą, zależne od pewnej liczby parametrów, rodziny transformacji w przestrzeni zmiennych równania. Dodatkowo, wymaga się również aby rodzina symetrii tworzyła (lokalną, spójną) grupę Liego transformacji. Przy powyższych założeniach określenie pełnej grupy symmetrii dla danego równania sprowadza się do określenia jej jednoparametrowych podgrup [Olv, s. 20, 48] Proces wyznaczania grupy symetrii przy użyciu omawianej metody może być, umownie, podzielony na dwa etapy. Pierwszy z nich polega na otrzymaniu generatorów grupy Liego symetrii. Konieczny i dostateczny warunek na generatory otrzymujemy linearyzując transformacje grupy symmetri wokół tramsformacji identycznościowej rozszerzając je na na przestrzeń pochodnych występujących w równaniu i następnie wymagając niezmienniczości równania przy tak zlinearyzowanych transformacjach dla infinitezymalnych wartości parametu. W rezultacie dostajemy liniowy jednorodny układ równań różniczkowych cząstkowych na współrzędne generatorów. Rozwiązując to równanie otrzymujemy generatory jednoparametrowych grup symetrii w jawnej postaci. Jeżeli chcemy konstruować grupy wieloparametrowe musimy ponadto wybrać z całego, otrzymanego w powyższy sposób, zbioru generatorów podzbiór tworzący algebrę Liego [stopka]. Mając w ten sposób wyodrębnioną pewną algebrę Liego możemy przejść do drugiego etapu polegającego na odtworzeniu całej grupy dla wszystkich dopuszczalnych wartości parametrów. Etap ten, zgodnie z pierwszym twierdzeniem Liego, również wymaga rozwiązywania równań różniczkowych, tym razem znanych równań Liego, które pozwalają zrekonstruować grupę z jej algebry. Jedną z zalet metod infinitezymalnych jest ich szeroki zakres zastosowań obejmujący równania różniczkowe cząstkowe, zwyczajne lub układy obu typów równań. Ich cenną cechą jest również to, że znaczna część obliczeń koniecznych do uzyskania symmetrii w jawnej postaci może być przeprowadzona w sposób algorytmiczny. Metody infinitezymalne posiadają również ograniczenia. Po pierwsze, nie umożliwiaja wyznaczania symetrii dyskretnych, takich jak np. odbicia, a ponadto wymagają dużej ilości obliczeń. Ze względu na ich algorytmiczny charakter oraz szybki , w ostatnich latach, rozwój, metod obliczeń symbolicznych ostatnia trudność traci stopniowo na znaczeniu. Często założenie o grupie może byc rozluźnione ale wówczas algebraicznie struktur symetri staje się mniej przejrzysta APLIKACJE SYMETRII Wyznaczanie rozwiązań równań różniczkowych - Metody redukcyjne Klasyfikacja równań o znanej symetrii Posiadają one również wartość praktyczną ponieważ mogą być użyte __________________________________________________________ [stopka] Zbiór generatorów, otrzymany z ogólnego rozwiązania takiego równania może być wyposarzony w strukturę algebry ponieważ komutator dwóch generatorów symetrii jest znowu generatorem symetrii [??]. W ogólnym przypadku komutator nie jest jednak kombinacją liniową generatorów ze stałymi współczynnikami co oznacza, że jeżeli chcemy konstruować grupy wieloparametrowe należy dodatkowo odrzucić część generatorów tak aby otrzymać poprawnie określoną algebrę Liego.