that The explicite knowledge of symmetry generators provides a method 
for determining their solutions 
These methods, comonly called symmetry reduction methods, allow to transform 
a given equation to a simpler form, which is often easer to solve, 
and then recover the solutions of original equations from that of the 
transformed ones

Partial differential equations can be in this way reduced to 
equations containing less independent variables and hence can be 
successively redu

repetitions of reductions procedure simplifies the question of determini. 

provides equations


equations 

Reductions for p
Successive reductions yields ordinary differential 

In case of ordinary differential equations reductions ?provides equations of 
lower order or their systems of lower rank.

Significance!! examples are here ordinary differential equations of first order 
which may be reduced to a quadrature or solved in an implicite form by 
constructing its first integral.

CONSERVATIONS

,if the systems are considered
with with help of symmetry reductions yields 




Jawna znajomość generatorów symetrii równań różniczkowych dostarcza 
metody znajdowania ich rozwiązań.

Metoda taka polega, przeważnie, na wykorzystaniu generatorów do konstrukcji nowych 
zmiennych, po przetransformowaniu do których dane równanie 
lub ich układ przyjmuje prostszą postać.

Dla równań różniczkowych cząstkowych taka transformacja prowadzi do
równan o mniejszej liczbie zmiennych niezależnych niż wyjściowe.

W przypadku równań różniczkowych zwyczajnych lub ich układów, 
po transformacji otrzymujemy równanie bądź układ niższego rzędu.

Następnie, rozwiązujemy przetransformowane równanie i odtwarzamy
rozwiazania dla wyjściowego wracając do starych zmiennych.

Interesującym polem zastosowań tej metody są równania 
różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, dla których jawna znajomość 
symetrii pozwala wyznaczyć rozwiązanie ogólne albo poprzez 
redukcję równania do kwadratury albo poprzez konstrukcję jego całki
pierwszej co oznacza konstrukcję rozwiązania w niejawnej postaci.



________________
of differential equations, even only for infinitesimal values of parameters, 
them

usually consists in exploiting 
symmetries to construct a transformation of a given equation which simplyfy its 
form. 

The question of determining solutions of 
Such a reduction for