off nat;



%for all xxx let cos(xxx)**2 + sin(xxx)**2 = 1;
%for all xxx let sinh(xxx) = sqrt(cosh(xxx)**2 - 1);
for all xxx let sinh(xxx)**2 = cosh(xxx)**2 - 1;



%------- a curve in normal parametrization ---------------

xs:=  2/(a*cosh(a*s + d)) + cx;


XS := (COSH(A*S + D)*A*CX + 2)/(COSH(A*S + D)*A)$

us:= s - 2*sinh(a*s +d)/(a*cosh(a*s + d)) + cu;


US := (COSH(A*S + D)*A*S + COSH(A*S + D)*A*CU - 2*SINH(A*S + D))/(
COSH(A*S + D)*A)$




%------- tangent vector to the curve ---------------

ttx:=df(xs,s)/sqrt(df(xs,s)**2 + df(us,s)**2);


TTX := ( - 2*SINH(A*S + D))/COSH(A*S + D)**2$

ttu:=df(us,s)/sqrt(df(xs,s)**2 + df(us,s)**2);


TTU := (COSH(A*S + D)**2 - 2)/COSH(A*S + D)**2$


dtt:=sqrt( ttx**2 + ttu**2  );


DTT := 1$


%------- tangent curvature of the curve ---------------

kaptt:=sqrt( df(ttx,s)**2 + df(ttu,s)**2  );


KAPTT := (2*A)/COSH(A*S + D)$


kaptt:=sqrt( (( ttx*df(ttu,s) - df(ttx,s)*ttu  )/(dtt**3))**2 );


KAPTT := (2*A)/COSH(A*S + D)$



%------- normal vector to the curve ---------------
nnx:=df(ttx,s)/sqrt(df(ttx,s)**2 + df(ttu,s)**2);


NNX := (COSH(A*S + D)**2 - 2)/COSH(A*S + D)**2$

nnu:=df(ttu,s)/sqrt(df(ttx,s)**2 + df(ttu,s)**2);


NNU := (2*SINH(A*S + D))/COSH(A*S + D)**2$



%***************************************************************
%                 x,u coordinates
%***************************************************************
%---------sinh(a*s +d)>=0-----------------------;


cosh(a*s + d):=2/(a*x);


COSH(A*S + D) := 2/(A*X)$

sinh(a*s +d):=sqrt(cosh(a*s+d)**2 - 1);


SINH(A*S + D) := SQRT( - A**2*X**2 + 4)/(A*X)$

ttx;


( - SQRT( - A**2*X**2 + 4)*A*X)/2$

ttu;


( - A**2*X**2 + 2)/2$

nnx;


( - A**2*X**2 + 2)/2$

nnu;


(SQRT( - A**2*X**2 + 4)*A*X)/2$

kaptt;


A**2*X$


genx:=ttx*df(-kaptt,x)*nnx + (-(kaptt**2)/2)*ttx;


GENX := (SQRT( - A**2*X**2 + 4)*A**3*X)/2$

genu:=ttx*df(-kaptt,x)*nnu + (-(kaptt**2)/2)*ttu;


GENU := (A**4*X**2)/2$


eeex:=1;


EEEX := 1$

eeeu:=ttu/ttx;


EEEU := (A**2*X**2 - 2)/(SQRT( - A**2*X**2 + 4)*A*X)$



procedure agen(fff); rrr:=genx*df(fff,x) + genu*df(fff,u);


AGEN$

procedure att(fff); rrr:=ttx*df(fff,x) + ttu*df(fff,u);


ATT$

procedure aeee(fff); rrr:=eeex*df(fff,x) + eeeu*df(fff,u);


AEEE$


%----------commutators----------------
lam:=agen(eeex) - aeee(genx);


LAM := (SQRT( - A**2*X**2 + 4)*A**3*( - A**2*X**2 + 2))/(A**2*X**2 - 
4)$

agen(eeeu) - aeee(genu);


(A**2*( - A**4*X**4 + 4*A**2*X**2 - 4))/(X*(A**2*X**2 - 4))$


agen(eeeu) - aeee(genu) - lam*eeeu;


0$


agen(ttx) - att(genx);


0$

agen(ttu) - att(genu);


0$



%---------sinh(a*s +d)<0-----------------------;


cosh(a*s + d):=2/(a*x);


COSH(A*S + D) := 2/(A*X)$

sinh(a*s +d):=-sqrt(cosh(a*s+d)**2 - 1);


SINH(A*S + D) := ( - SQRT( - A**2*X**2 + 4))/(A*X)$

ttx;


(SQRT( - A**2*X**2 + 4)*A*X)/2$

ttu;


( - A**2*X**2 + 2)/2$

nnx;


( - A**2*X**2 + 2)/2$

nnu;


( - SQRT( - A**2*X**2 + 4)*A*X)/2$

kaptt;


A**2*X$


genx:=ttx*df(-kaptt,x)*nnx + (-(kaptt**2)/2)*ttx;


GENX := ( - SQRT( - A**2*X**2 + 4)*A**3*X)/2$

genu:=ttx*df(-kaptt,x)*nnu + (-(kaptt**2)/2)*ttu;


GENU := (A**4*X**2)/2$


eeex:=1;


EEEX := 1$

eeeu:=ttu/ttx;


EEEU := ( - A**2*X**2 + 2)/(SQRT( - A**2*X**2 + 4)*A*X)$


%----------commutators----------------
lam:=agen(eeex) - aeee(genx);


LAM := (SQRT( - A**2*X**2 + 4)*A**3*(A**2*X**2 - 2))/(A**2*X**2 - 4)$

agen(eeeu) - aeee(genu);


(A**2*( - A**4*X**4 + 4*A**2*X**2 - 4))/(X*(A**2*X**2 - 4))$


agen(eeeu) - aeee(genu) - lam*eeeu;


0$


agen(ttx) - att(genx);


0$

agen(ttu) - att(genu);


0$





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