off nat;


%********************************************************
% EXAMPLE (16 08 97)
% 1 - soliton solutions of mKdV eq. 
% as curvature of moving curve in 2D euclidean space
%********************************************************
depend f, x, p;


depend EEE, x, p;



%------ tangent -------------------------------------------
EEEp:=1;


EEEP := 1$

EEEx:=EEE;


EEEX := EEE$

dEEE:=sqrt(EEEp**2 + EEEx**2);


DEEE := SQRT(EEE**2 + 1)$

procedure vEEE(f); rrr:= EEEp*df(f,p) + EEEx*df(f,x);


VEEE$


%------ tangent unit --------------------------------------
ttp:=1/dEEE;


TTP := 1/SQRT(EEE**2 + 1)$

ttx:=EEE/dEEE;


TTX := EEE/SQRT(EEE**2 + 1)$

dtt:=sqrt(ttp**2 + ttx**2);


DTT := 1$

procedure vtt(f); rrr:= ttp*df(f,p) + ttx*df(f,x);


VTT$


%------ normal unit ---------------------------------------
uup:=vEEE(ttp);


UUP := ( - EEE*(DF(EEE,P) + DF(EEE,X)*EEE))/(SQRT(EEE**2 + 1)*(EEE**2
 + 1))$

uux:=vEEE(ttx);


UUX := (DF(EEE,P) + DF(EEE,X)*EEE)/(SQRT(EEE**2 + 1)*(EEE**2 + 1))$

duu:=sqrt(uup**2 + uux**2);


DUU := (DF(EEE,P) + DF(EEE,X)*EEE)/(EEE**2 + 1)$

nnp:=uup/duu;


NNP := ( - EEE)/SQRT(EEE**2 + 1)$

nnx:=uux/duu;


NNX := 1/SQRT(EEE**2 + 1)$


dnn:=sqrt(nnp**2 + nnx**2);


DNN := 1$

procedure vnn(f); rrr:= nnp*df(f,p) + nnx*df(f,x);


VNN$


%------ curvature -----------------------------------------
kapt:=sqrt(vtt(ttp)**2 + vtt(ttx)**2);


KAPT := (DF(EEE,P) + DF(EEE,X)*EEE)/(SQRT(EEE**2 + 1)*(EEE**2 + 1))$


%------ frenet equations ----------------------------------
vtt(ttp) - kapt*nnp;


0$

vtt(ttx) - kapt*nnx;


0$

vtt(nnp) + kapt*ttp;


0$

vtt(nnx) + kapt*ttx;


0$



%------ action of normal unit on tangent unit ----------------------------------
vnn(ttp);


(EEE*(DF(EEE,P)*EEE - DF(EEE,X)))/(EEE**4 + 2*EEE**2 + 1)$

vnn(ttx);


( - DF(EEE,P)*EEE + DF(EEE,X))/(EEE**4 + 2*EEE**2 + 1)$


solve(vnn(ttp) + a*nnp, a);


{A=(SQRT(EEE**2 + 1)*(DF(EEE,P)*EEE - DF(EEE,X)))/(EEE**4 + 2*EEE**2 
+ 1)}$

solve(vnn(ttx) + b*nnx, b);


{B=(SQRT(EEE**2 + 1)*(DF(EEE,P)*EEE - DF(EEE,X)))/(EEE**4 + 2*EEE**2 
+ 1)}$





kapn:=(SQRT(EEE**2 + 1)*(DF(EEE,P)*EEE - DF(EEE,X)))/(EEE**4 + 2*EEE**2 + 1);


KAPN := (SQRT(EEE**2 + 1)*(DF(EEE,P)*EEE - DF(EEE,X)))/(EEE**4 + 2*
EEE**2 + 1)$



vnn(ttp) + kapn*nnp;


0$

vnn(ttx) + kapn*nnx;


0$


%------ normal symmetry generator ----------------------------------
depend alp,p,x;


genp:=alp*nnp;


GENP := ( - EEE*ALP)/SQRT(EEE**2 + 1)$

genx:=alp*nnx;


GENX := ALP/SQRT(EEE**2 + 1)$

procedure vgen(f); rrr:= genp*df(f,p) + genx*df(f,x);


VGEN$


%------ symmetry condition ----------------------------------
depend ro,p,x;


conp:=vgen(ttp) - vtt(genp) - ro*ttp;


CONP := (SQRT(EEE**2 + 1)*DF(EEE,P)*ALP + SQRT(EEE**2 + 1)*DF(ALP,P)*
EEE + SQRT(EEE**2 + 1)*DF(ALP,X)*EEE**2 - EEE**2*RO - RO)/(
SQRT(EEE**2 + 1)*(EEE**2 + 1))$

conx:=vgen(ttx) - vtt(genx) - ro*ttx;


CONX := (SQRT(EEE**2 + 1)*DF(EEE,X)*ALP - SQRT(EEE**2 + 1)*DF(ALP,P) 
- SQRT(EEE**2 + 1)*DF(ALP,X)*EEE - EEE**3*RO - EEE*RO)/(SQRT
(EEE**2 + 1)*(EEE**2 + 1))$


%------ symmetry condition in frenet language ----------------------

conpk:=- (alp*kapn + vtt(alp))*nnp + (alp*kapt - ro)*ttp;


CONPK := ( - SQRT(EEE**2 + 1)*RO + DF(EEE,P)*ALP + DF(ALP,P)*EEE + DF
(ALP,X)*EEE**2)/(EEE**2 + 1)$

conxk:=- (alp*kapn + vtt(alp))*nnx + (alp*kapt - ro)*ttx;


CONXK := ( - SQRT(EEE**2 + 1)*EEE*RO + DF(EEE,X)*ALP - DF(ALP,P) - DF
(ALP,X)*EEE)/(EEE**2 + 1)$


conpk - conp;


0$

conxk - conx;


0$


%------ so the following two expresions should vanish
%because of independence of tangent and normal units -----

eqqn:=alp*kapn + vtt(alp);


EQQN := (DF(EEE,P)*EEE*ALP - DF(EEE,X)*ALP + DF(ALP,P)*EEE**2 + DF(
ALP,P) + DF(ALP,X)*EEE**3 + DF(ALP,X)*EEE)/(SQRT(EEE**2 +
 1)*(EEE**2 + 1))$

eqqt:=alp*kapt - ro;


EQQT := ( - SQRT(EEE**2 + 1)*EEE**2*RO - SQRT(EEE**2 + 1)*RO + DF(EEE
,P)*ALP + DF(EEE,X)*EEE*ALP)/(SQRT(EEE**2 + 1)*(EEE**2 + 
1))$


;

alp:=ro/kapt;


ALP := (SQRT(EEE**2 + 1)*RO*(EEE**2 + 1))/(DF(EEE,P) + DF(EEE,X)*EEE)
$


%-------------------------------
toint:=-kapn/(kapt*nnp);


TOINT := (SQRT(EEE**2 + 1)*(DF(EEE,P)*EEE - DF(EEE,X)))/(EEE*(DF(EEE,
P) + DF(EEE,X)*EEE))$

difp:=df(ttp,p);


DIFP := ( - DF(EEE,P)*EEE)/(SQRT(EEE**2 + 1)*(EEE**2 + 1))$

difx:=df(ttp,x);


DIFX := ( - DF(EEE,X)*EEE)/(SQRT(EEE**2 + 1)*(EEE**2 + 1))$


%---- form to integrate -------
formp:=toint*difp;


FORMP := (DF(EEE,P)*( - DF(EEE,P)*EEE + DF(EEE,X)))/(DF(EEE,P)*EEE**2
 + DF(EEE,P) + DF(EEE,X)*EEE**3 + DF(EEE,X)*EEE)$

formx:=toint*difx;


FORMX := (DF(EEE,X)*( - DF(EEE,P)*EEE + DF(EEE,X)))/(DF(EEE,P)*EEE**2
 + DF(EEE,P) + DF(EEE,X)*EEE**3 + DF(EEE,X)*EEE)$



%---------- some calculation check -------------------------


df(sin(ttp),p);


( - SQRT(EEE**2 + 1)*DF(EEE,P)*COS(1/SQRT(EEE**2 + 1))*EEE)/(EEE**4 +
 2*EEE**2 + 1)$

cos(ttp)*df(ttp,p);


( - DF(EEE,P)*COS(1/SQRT(EEE**2 + 1))*EEE)/(SQRT(EEE**2 + 1)*(EEE**2 
+ 1))$

df(sin(ttp),p) - cos(ttp)*df(ttp,p);


0$



df(log(ttp),p);


( - DF(EEE,P)*EEE)/(EEE**2 + 1)$

(1/ttp)*df(ttp,p);


( - DF(EEE,P)*EEE)/(EEE**2 + 1)$

df(log(ttp),p) - (1/ttp)*df(ttp,p);


0$



df(sin(ttp),x);


( - SQRT(EEE**2 + 1)*DF(EEE,X)*COS(1/SQRT(EEE**2 + 1))*EEE)/(EEE**4 +
 2*EEE**2 + 1)$

cos(ttp)*df(ttp,x);


( - DF(EEE,X)*COS(1/SQRT(EEE**2 + 1))*EEE)/(SQRT(EEE**2 + 1)*(EEE**2 
+ 1))$

df(sin(ttp),x) - cos(ttp)*df(ttp,x);


0$



df(log(ttp),x);


( - DF(EEE,X)*EEE)/(EEE**2 + 1)$

(1/ttp)*df(ttp,x);


( - DF(EEE,X)*EEE)/(EEE**2 + 1)$

df(log(ttp),x) - (1/ttp)*df(ttp,x);


0$



vtt(ttp);


( - EEE*(DF(EEE,P) + DF(EEE,X)*EEE))/(EEE**4 + 2*EEE**2 + 1)$

kapt*nnp;


( - EEE*(DF(EEE,P) + DF(EEE,X)*EEE))/(EEE**4 + 2*EEE**2 + 1)$


vtt(ttp)-kapt*nnp;


0$


kapn/(kapt*nnp);


(SQRT(EEE**2 + 1)*( - DF(EEE,P)*EEE + DF(EEE,X)))/(EEE*(DF(EEE,P) + 
DF(EEE,X)*EEE))$


%---------- particular case -------------------

%depend GE, x;
EEE:=p + x**2;


EEE := P + X**2$


ttp;


1/SQRT(P**2 + 2*P*X**2 + X**4 + 1)$

ttx;


(P + X**2)/SQRT(P**2 + 2*P*X**2 + X**4 + 1)$

nnp;


( - (P + X**2))/SQRT(P**2 + 2*P*X**2 + X**4 + 1)$

nnx;


1/SQRT(P**2 + 2*P*X**2 + X**4 + 1)$

kapt;


(2*P*X + 2*X**3 + 1)/(SQRT(P**2 + 2*P*X**2 + X**4 + 1)*(P**2 + 2*P*X
**2 + X**4 + 1))$

kapn;


(SQRT(P**2 + 2*P*X**2 + X**4 + 1)*(P + X**2 - 2*X))/(P**4 + 4*P**3*X
**2 + 6*P**2*X**4 + 2*P**2 + 4*P*X**6 + 4*P*X**2 + X**8 + 2*X**4 +
 1)$



kapn/(kapt*nnp);


(SQRT(P**2 + 2*P*X**2 + X**4 + 1)*( - P**3 - 3*P**2*X**2 + 2*P**2*X -
 3*P*X**4 + 4*P*X**3 - P - X**6 + 2*X**5 - X**2 + 2*X))/(2*P**4*X
 + 8*P**3*X**3 + P**3 + 12*P**2*X**5 + 3*P**2*X**2 + 2*P**2*X + 8*
P*X**7 + 3*P*X**4 + 4*P*X**3 + P + 2*X**9 + X**6 + 2*X**5 + X**2)$


difp;


( - (P + X**2))/(SQRT(P**2 + 2*P*X**2 + X**4 + 1)*(P**2 + 2*P*X**2 + 
X**4 + 1))$

difx;


( - 2*X*(P + X**2))/(SQRT(P**2 + 2*P*X**2 + X**4 + 1)*(P**2 + 2*P*X**
2 + X**4 + 1))$



%factor p;
formp;


( - P - X**2 + 2*X)/(2*P**3*X + 6*P**2*X**3 + P**2 + 6*P*X**5 + 2*P*X
**2 + 2*P*X + 2*X**7 + X**4 + 2*X**3 + 1)$


factor x;


formx;


( - 2*X**3 + 4*X**2 - 2*X*P)/(2*X**7 + 6*X**5*P + X**4 + 2*X**3*(3*P
**2 + 1) + 2*X**2*P + 2*X*P*(P**2 + 1) + P**2 + 1)$




shut jkk;